Skalen in der Statistik


Merkmalsausprägungen bilden eine Skala ab. Eine Skala ist ein Maßstab zur Messung der Merkmalsausprägungen bei den Untersuchungseinheiten. Dabei unterscheidet man zwischen den folgenden vier Skalen: Zu beachten ist bei der oberen Auflistung, dass diese hierarchisch erfolgt ist, wobei die Nominalskala in der Hierarchie ganz unten steht und die Verhältnisskala ganz oben. Relevant ist dies, da ein höheres Messniveau jeweils die Eigenschaften der niedrigeren Messniveaus mit einschließt. Je nach Merkmal und Ausprägung kommt eine andere Skala zur Geltung.

Nominalskala

Die Nominalskala findet bei qualitative Merkmale Anwendung, also bei Merkmalen, deren Ausprägungen keine natürliche Reihenfolge bilden, sondern gleichberechtigt nebeneinanderstehen. Dies wäre beispielsweise bei der Religion oder dem Geschlecht der Fall. Ordnet man in der Nominalskala den einzelnen Merkmalsausprägungen Ziffern zu, dann verschlüsselt man diese. Diese Verschlüsselung dient aber lediglich zur Identifikation. Generell stellt diese Skala die geringste Anforderungen an die Merkmalsausprägungen, bietet aber dementsprechend auch nur die geringste Möglichkeiten bei der statistischen Auswertung.

Lageparameter: Modus

Ordinalskala

Bei der Ordinalskala besteht zwischen den Merkmalsausprägungen eine Rangordnung. So lässt sich zwischen den Merkmalsausprägungen eine „größer als“-Relation aufstellen. Besteht eine Ordinalskala lediglich aus ganzzahligen Ordnungsziffern die mit 1 beginnt und eine ununterbrochene Reihenfolge bildet, dann spricht man auch von einer Rangskala. So wäre die Bundesliga-Tabelle beispielsweise eine Rangskala.

Wichtig ist zu verinnerlichen, dass zwar eine Rangordnung mit der Ordinalskala abgebildet werden kann, eine Angabe der Distanz zwischen den einzelnen Rangstufen aber nicht möglich ist.

Lageparameter: Modus, Median

Quasi-metrische Ordinalskala

In der Wissenschaft wird man bei der Durchführung von Studien bzw. Experimenten häufig auf die sogenannte Likert-Skala stoßen. Diese ist offiziell eine Ordinalskala. Die Antwortmöglichkeiten reichen bei der Likertskala von häufig von „stimmt gar nicht zu“ bis „stimmt voll zu“, wobei es insgesamt meist fünf Skalenpunkte gibt. Generell kann man nicht davon ausgehen, dass der Befragte die Abstände der einzelnen Antwortmöglichkeiten als gleich weit entfernt wahrnimmt (äquidistant). Um bei der späteren Auswertung die erhobenen Daten aber dennoch wie intervallskalierte Daten behandeln zu können, greift man zu einem kleinen Trick, in dem man die Skalenpunkte optisch in gleich weiten Abständen anordnet und über die Skalenpunkte eine gleichbleibende Nummerierung durchführt.

Metrische Skala

Die metrische Skala findet bei quantitativen Merkmalen Anwendung. Die Abstände zwischen den Ausprägungen können also gemessen werden, da es sich bei den Ausprägungen um reelle Zahlen handelt. Dies ist z.B. bei Kinderzahl oder Temperatur der Fall. Die metrische Skala kann man in die Intervallskala und in die Verhältnisskala (auch Ratioskala genannt) differenzieren.

Intervallskala

Bei der Intervallskala ist der Nullpunkt willkürlich festgelegt (z.B. Temperatur: Celsius – Fahrenheit). Daraus folgt, dass man bei der Intervallskala keine Verhältnisse der Merkmalswerte bilden darf. Sprich man darf nicht sagen, dass die eine Merkmalsausprägung ein Vielfaches einer anderen Merkmalsausprägung ist. Eine Messung erfolgt in konstanten Maßeinheiten, Distanzangaben sind damit im Gegensatz zur Ordinalskala möglich.

Lageparameter: Modus, Median Arithmetisches Mittel

Verhältnisskala/Ratioskala

Bei der Verhältnisskala ist der Nullpunkt hingegen fest auf natürliche Weise oder durch Konventionen vorgegeben. Wie auch die Intervallskala sind bei der Verhältnisskala Distanzangaben möglich. Darüber hinaus kann man, wie der Name schon sagt, im Gegensatz zur Intervallskala auch Verhältnisse der Merkmalswerte damit ausdrücken. Die Multiplikation und Division ist also bei diesem Skaleinnievau erlaubt und auch nur bei diesem! Damit besitzt die Verhältnisskala das höchste Skalenniveau. Dennoch ist eine Transformation in niedrige Skalenniveaus jederzeit möglich. Ein Beispiel für eine Verhältnisskala ist die Nennung des Alters, des Nettoeinkommens, des Gewinns ...

Lageparameter: Modus, Median Arithmetisches Mittel, Geometrisches Mittel

Transformation von Skalen

Je nach Skala können unterschiedliche Transformationen angewandt werden. Dabei dürfen die in den Skalenwerten enthaltenen Informationen nicht verändert werden. Nachfolgend eine Auflistung bei welcher Art von Skala welche Transformation möglich ist:

Nominalskala
Es sind symmetrische Transformationen zulässig, bei denen sich lediglich die Klassenbezeichnung ändert (Verschlüsselung). Es sind also alle bijektiven Abbildungen möglich.

Ordinalskala
Es sind streng monotone Transformationen zulässig. D.H. Neben der Bijektivität muss die Ordnung erhalten bleiben, sodass die Abbildung entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein muss.

Intervallskala
Es sind lineare Transformationen der folgenden Art zulässig: y = ax + b (a>0) Beispiel: Umrechnung von Fahrenheit in Celsius.

Verhältnisskala
Es sind Ähnlichkeitstransformationen der folgenden Art zulässig: y=ax (x>0). Eine Verschiebung des Nullpunkts ist nicht möglich, da fest vorgegeben! Beispiel: Umrechnung von m in cm

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