Sigma-Algebra (σ-Algebra)

Der Begriff der Sigma-Algebra (geschrieben σ-Algebra) stammt aus dem Bereich der Maßtheorie. σ-Algebren spielen als Ereignisräume eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie, weshalb man die nachfolgenden Eigenschaften einer σ-Algebra auf jeden Fall verinnerlichen sollte.

Sei Ω eine nicht leere Menge. Dann ist die Teilmenge A(Ω) der Potenzmenge P(Ω) genau dann eine σ-Algebra, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:
  1. Ω ∈ A(Ω)
  2. A ∈ A(Ω) ⇒ Ω\A ∈ A(Ω)
  3. Ai ∈A(Ω) für i=1,2,3,4 ... ⇒ 3. Eigenschaft der Sigma Algebra
Nachfolgend eine kurze Erläuterung der einzelnen Eigenschaften

1. Ω ∈ A(Ω)

Die erste Eigenschaft sagt nichts anderes aus, als das in der Teilmenge A(Ω) auf jeden Fall die Menge Ω enthalten sein muss. Sei Ω={1,2,3} dann muss nach Eigenschaft 1 gelten: A(Ω)={(1,3),...,(1,2,3),...,(2),...} (Achtung: Dies wäre noch keine σ-Algebra, lediglich Eigenschaft 1 wurde erfüllt)

2. A ∈ A(Ω) ⇒ Ω\A ∈ A(Ω)

Die zweite Eigenschaft sagt aus, wenn A(Ω) die Teilmenge A besitzt, dann auch deren Komplement. Sprich wenn die Grundmenge Ω={1,2,3} ist und A=(1,2) dann muss auch das Komplement der Menge, also (3) enthalten sein. Sei A nun (2), dann muss auch (1,3) enthalten sein.

Da Eigenschaft 1 besagt, dass die Grundmenge immer enthalten sein muss, folgt mit Eigenschaft 2, dass eine σ-Algebra auch immer die leere Menge enthalten muss. Denn das Komplement der Grundmenge ist die leere Menge.

3. Ai ∈A(Ω) für i=1,2,3,4 ... ⇒ 3. Eigenschaft der Sigma Algebra

Die dritte Eigenschaft besagt, falls die Menge Ai in A(Ω) enthalten ist, dann auch die abzählbare Vereinigung aller Ai. Sei die Grundmenge Ω={1,2,3,4}. Wenn nun die Teilmenge (1) und die Teilmenge (2) enthalten ist, dann muss auch die Teilmenge (1,2) enthalten sein. Wäre hingegen die Teilmenge (2) und die Teilmenge (1,3) enthalten, dann müsste auch die Teilmenge (1,2,3) enthalten sein.

Schlussfolgerung

Mit den oberen drei Eigenschaften ergeben sich folgende σ-Algebren, wobei Ω jeweils die Grundmenge ist: