Median/Zentralwert

Der Median, bzw. Zentralwert, teilt eine geordnete statistische Reihe in der Mitte, sodass auf beiden Seiten jeweils gleichgroße Teile sich befinden. Somit muss das untersuchte Merkmal mindestens ordinalskaliert sein.

Um den Median bestimmen zu können, muss man unterscheiden ob die Anzahl der Elemente der Urliste bzw. die Anzahl der geordneten statistischen Reihe (x(1), x(2), x(3) … x(n)) gerade oder ungerade ist.

Falls die Anzahl ungerade ist, dann berechnet sich der Median folgendermaßen:
Median = x((n+1)/2)


Beispiel: Bei einer Waage mit Säcke voller Äpfel wurden pro Sack folgende Gewichte gemessen (in kg) (15,20,25,30,40), dann ist der Median: x((5+1)/2) = x(3) = 25

Falls die Anzahl gerade ist, dann berechnet sich der Median folgendermaßen:
Median = 0.5(x(n/2) + x((n+1)/2))


Beispiel: Zur oberen Liste mit den Gewichten wurde nun noch eine weiterer Sack mit weiterem Gewicht hinzugefügt, sodass sich eine gerade Anzahl für n ergibt. Gewichtsliste = (15,20,25,30,35,40). Nun ist der Median: 0.5(x(6/2) + x(6/2+1)) = 0.5(x(3) + x(4)) = 0.5(25+30) = 27.5

Während man bei einer ungerade Zahl also einfach den mittleren Beobachtungswert der Reihe als Median bestimmt, ist der Median bei gerader Zahl das arithmetische Mittel aus den beiden mittleren Beobachtungswerten.

Median bei klassierten Merkmalen bestimmen

Bei einem klassierten Merkmal liegt der Median genau in der Klasse, in der die Summenhäufigkeitsfunktion den Wert 0.5 erreicht, bzw. das erste Mal überschreitet. Die Feinberechnung des Medians kann darüber hinaus mit lineare Interpolation durchgeführt werden. Sprich, wenn der Median nicht auf einer Klassengrenze liegt, muss erst einmal die Klasse bestimmt werden, in die der Median fällt. Diese Klasse heißt Einfallklasse und ist genau die Klasse, bei der die Summenhäufigkeitsfunktion für die untere Grenze (αE) kleiner als 0.5 ist und die Summenhäufigkeitsfunnktion für die obere Klassengrenze (βE) größer als 0.5 ist.

Anschließend lässt sich der Median in dieser Einfallsklasse folgendermaßen berechnen:

Untere Klassengrenze + (0.5-relative Summenhäufigkeit der unteren Grenze)/(relative Häufigkeit) * Klassenbreite Formel für feinberechneter Median